数论是AMC10竞赛中兼具挑战性与区分度的模块，掌握核心技巧可快速提升解题效率。解题需兼顾基础定理应用与灵活思维转换，通过系统训练实现从知识到得分的转化。司虎AMC国际竞赛辅导将详细描述数论题的核心技巧。

一、基础工具--质数与因数分解的深度应用

质数性质与因数分解是数论题的基础工具。面对涉及整数方程或倍数关系的题目，需快速完成质因数分解并分析因子结构。例如，若题目给出两数乘积为完全平方数，可立即推断两数质因数分解中各指数均为偶数。此外，欧几里得算法求最大公约数（GCD）需熟练运用，如通过辗转相除法简化分数或求解同余方程。

二、同余与整除--构建方程的关键桥梁

同余理论是数论题的核心框架。处理涉及余数或周期性的问题时，需灵活运用同余性质：若a ≡ b (mod m)，则a + c ≡ b + c (mod m)，且a × c ≡ b × c (mod m)。整除判定规则同样重要，如通过数字和判断3的倍数、末位判断2/5的倍数等。对于复杂同余方程，可结合中国剩余定理拆分模数，或通过试值法缩小答案范围。

三、进阶突破--不定方程与数位操作的思维转换

不定方程求解需结合代数变形与数论性质。例如，面对形如ax + by = c的方程，需先判断GCD(a, b)是否整除c，再通过扩展欧几里得算法寻找特解。数位相关题目则要求观察数字规律，如进制转换中通过位权展开计算数值，或利用数字循环特性分析无限小数。此外，费马小定理、欧拉定理等高级工具可简化大数模运算，但需严格满足适用条件。

数论题的解题关键在于：基础工具的快速调用、同余框架的灵活构建、进阶技巧的精准触发。司虎AMC国际竞赛辅导相信通过分类训练强化对质数、同余、不定方程等考点的敏感度，同时注重数形结合与逆向思维的培养。